我们是为了理解而教授低年级的算术吗

在一些学校里，我们用了太多程序性手段来教算术，却很少用到陈述性方法。这是否可能是因为当初教师自己就是这样学算术的呢？这是否也能解释为什么低年级的算术教学在这么多年里都没有什么变化？我们教学生解决算术问题的程序步骤，他们可以就此反复练习（程序性记忆），但是这种练习并不能提高算术的流畅性，因为我们几乎没讲到怎样运用和为什么运用这些步骤。于是，当我们给学生提出问题时，他们条件反射地从知识中提取出练习过的步骤并有效运用，却不理解其中涉及的数学概念。

当然，学生需要学习一些基本的程序性活动，比如随着记住一些算式，但重点是要（尽早）向学生说明为什么要进行这些运算。我们运用越多包含有理解和意义的陈述性过程来教算术，学生就越有可能学会并真正享受数学的乐趣。

基于陈述性方法的样例

基于陈述性的方法主要是利用学生天生的数感，通过操作手指获得的对数数的直觉概念和对于十进制的理解。它包括让学生自己创建计算的步骤，这样他们就可以真正理解其中蕴含的运算法则。研究者早已认识到，低年级的儿童已经能够构建他们自己的计算方法了（Carpenter et. al.，1998;Fuson et.，al.，1997）。通过这样的方法，低年级学生将经历三个可预测的发展阶段。

●第一阶段，学生处理一个问题里的所有数量。为了获得一组物体的总数，他们会分别数各组物体的数量，把几个组合起来，然后再从头全部数一遍。做减法的时候，学生会数出一组并分出去，然后再把剩下的重新数一遍。

●第二阶段，学生在解决问题之前会思考问题的各个组成部分。通过从一个可以确定答案的数量开始数或者往回数到那个数的过程，他们充分展现了这一能力。

●在最高级阶段，学生运用抽象知识并且从不同途径考虑数量。他们运用学过的知识来解决新问题。例如，学生可能运用以前的知识，通过分解或重组十位和个位的方法，认识到6+7等于6+6+1，或者7+9等于6+10。

理解低年级学生数学思维的发展可以帮助教师预计学生可能运用的方法，并且在他们不断进步的过程中给予支持。当教师鼓励学生发明多种问题解决策略时，教学目标就与那些采用标准记忆程序进行的教学有所不同。教学重点在于发现学生所创造并成功使用的那些方法的意义（Scharton，2004）。

数学教育者苏珊·沙尔通（Susan Scharton）一直积极提倡为低年级学生提供解决计算问题的机会，让他们自己创造计算步骤，并且将他们的方法讲解给其他同学听。她发现，这个办法能够提高学生计算的准确率，并且能够增强对他们自己所创造的方法的理解。当她让学生讲解他们的方法时，学生们对自己方法的理解通过这种精细的复述得以进一步加深。而聆听其他同学提出的方法，能够推动一些学生尝试其他同学的计算方法。

沙尔通（Scharton，2004）曾经用过一个例子来展示学生是如何采用多种策略解决如下问题的：“保罗有28支记号笔，然后又得到了34支，现在他一共有几支笔？”一个二年级学生将34写在了28下方，尝试使用传统的两位数相加的竖式算法。这是他写下的算式，然后他就停下来了：

他尝试采用标准的步骤，从同列数字相加开始。然而他并不知道当答案是两位数时，在标准步骤里这一步到底该怎么做：他不知道应该把数字放到哪个位置。他分别处理每个数字.却没有把数字跟数值联系起来。他是在试图使用一个有效的然而他不理解的步骤，并且对于自己所使用的方法并不自信，因为他并不能回忆起那些已经学会了的步骤。而如果这是他自己想出的策略，那他就能依靠自己对于数字和所使用过方法的理解来解决这个问题。

另一个二年级学生，来自一个鼓励学生分享问题解决方法的班级，则采用了不同的方法。她能够运用图5.6所示方法准确高效地解决问题。她将数字分为十位和个位，然后再将各部分重组。她知道在一个两位数中每个数字代表着不同的数值。她分析出了问题所具有的交换律和结合律属性，于是自己创造了一套用着顺手而且有意义的步骤。她不仅可以使用合理的方法，而且能够清晰地用书面形式解释她的方法为什么有用和应该怎么用。

用于一、二年级的教学模式。为了鼓励学生自己探寻解决计算问题的方法步骤，沙尔通（Scharton，2004）设计了一种教学模式，在课堂上让一、二年级的学生交替进行小组讨论和全班讨论。

这种教学模式聚焦于学生所发明的有意义计算方法，以及他们是如何通过讨论和书面材料将这些方法准确传达给其他人的。下面展示如何操作：

●小组讨论。学生通常在每周的自由活动时间先参加一个由4~6名不同水平学生组成的小组，给小组分配一道计算题。与此同时，给班里的其他学生呈现不同类型问题，并且鼓励学生发明多种解决问题的策略。在小组里，学生用自己发明的或从别人那里学到的方法独立解决问题。他们将自己的方法讲解给同组的其他成员听（精细复述），并讨论大家所用方法之间的相似和不同之处，同时讨论这些方法在哪些方面相关联。学生将他们解题的方法写下来。

●班级讨论。小组讨论之后进行班级讨论，可以让学生将一系列方法讲解给更多的人。课堂讨论应该集中讨论每种方法的有效性、方法之间的关系、有效地呈现交流方式，以及每种方法怎样做和为什么这样做。在全班讨论结束后，给学生另一道类似的题目，以判断学生学习的迁移程度，即学生讨论过的那些策略中有哪此可以用于解决新的问题。学生每周都重复这样一个循环。图5.7演示了这种教学模式。

通常，在大多数小学课堂里，算数教学的目标就是要准确快速地运用教师演示的算法规则。而沙尔通的模式则鼓励学生自己开发计算步骤，向同伴清晰讲解这此步骤和分析这此步骤的关联性、效率和效果，从而培养年幼学生的高效计算能力。

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